Question

【题目】如图，在等边△ABC中，AB＝4，角BAC的平分线交BC于点D，M为AB边中点，N是AD上的动点．

①在图上作出使得BN+MN的和最小时点N的位置，并说明理由．

②求出BN+MN的最小值．（提示：Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2成立）

Answer 1

【答案】①详见解析；②BN+MN最小值为2.

【解析】

①连接CM，交AD于点N，由题意可得直线AD是等边△ABC的对称轴，即CN＝BN，则BN+MN＝CN+MN，根据两点之间，线段最短，可得当点N在CM上时，BN+MN最短；

②利用勾股定理可求CM的长度，即可得BN+MN的最小值

解：①如图：连接CM，交AD于点N

∵AD是等边△ABC的角平分线，

∴直线AD是等边△ABC的对称轴

∴BN＝CN

∴BN+MN＝CN+MN

根据两点之间，线段最短，当点N在线段CM上时，BN+MN最短．

即点N位于CM与AD的交点时，BN+MN最短．

②当点N在CM上时，BN+MN最短，即BN+MN最小值为CM的长度

∵点M是AB的中点

∴AM＝BM＝2

在Rt△ACM中，CM＝＝2

∴BN+MN最小值为2