Question

【题目】已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=70°．

（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；

（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发(当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动)，设运动的时间为t秒．

(i)如图2，在整个运动过程中，当∠BON=2∠COM时，求t的值；

(ⅱ)如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）145°；（2）(i)t或；(ⅱ)当t=3秒时，OC平分∠POQ．

【解析】

（1）由角平分线定义求出∠AOD．再由平角求得∠BOD；

（2）（i）分两种情况：OM没超过OC时，OM超过OC时，列出t的方程，解方程便可得答案；

（ⅱ）由题意知OP在OQ的右边，据此画出草图，分别用t表示∠COP和∠COQ，由两角相等，列出t的方程进行解答便可．

（1）∵∠AOC=70°，OD平分∠AOC，∴∠AOD=35°，∴∠DOB=180°﹣∠AOD=145°；

（2）∵∠AOC=70°，∴∠BOC=180°﹣70°=110°，

(i)∵70°÷6(秒)，110°÷4(秒)

当0＜t时，如图1，

则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=70°﹣6t．

∵∠BON=2∠COM，

∴110°﹣4t=2(70°﹣6t)，

∴t(秒)；

当时，如图2，

则∠BON=180°﹣70°﹣4t=110°﹣4t，∠COM=6t﹣70°．

∵∠BON=2∠COM，

∴110°﹣4t=2(6t﹣70°)，

∴t(秒)

综上，t或；

(ⅱ)如图3，∠AOM=6t，∠BON=110°﹣4t，

∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，

∴∠AOP=3t，∠NOQ=55°﹣2t，

∴∠COP=70°﹣3t，∠COQ=4t(110°﹣4t)=55°+2t．

∵OC平分∠POQ，

∴70°﹣3t=55°+2t，

∴t=3(秒)，

∴当t=3秒时，OC平分∠POQ．