Question

8．已知矩形ABCD，AB=BE=EF=FC=1，分别求出AE、AF、AC的长，并判断△AEF与△CEA是否相似？

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AE、AF、AC，再经过计算得到$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，加上∠AEC=∠CEA，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△CEA．

解答 解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=90°，
在Rt△ABE中，AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABF中，AF=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵EF=1，EC=2，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\sqrt{2}$，$\frac{EC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AE}{EF}$=$\frac{EC}{AE}$，
而∠AEC=∠CEA，
∴△AEF∽△CEA．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了勾股定理．