Question

【题目】如图所示，AB是⊙O的直径，点C是弧AB的中点，点D是弧BC的中点，连接AC，BC，AD，BD，且AD与BC相交于点F，延长AC至E，使AC＝EC，连接EB交AD的延长线于点G．

（1）求证：EB是⊙O的切线；

（2）求证；AF＝2BD；

（3）求证：线段BG是线段CF和线段EG的比例中项．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析

【解析】

（1）由“SAS”可证△ABC≌△EBC，可得∠ABC=∠EBC=45°，可得∠EBA=90°，即可得结论；

（2）延长BD交AE于点M，由“ASA”可证△ADB≌△ADM和△ACF≌△BCM，可得BD=DM，AF=BM=2BD；

（3）过点F作FN⊥AB，过点G作GK⊥AE，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得BF＝CF，EG＝KG＝BG＝BF，即可得结论．

证明：（1）∵AB是⊙O 的直径，

∴∠ACB＝90°

又∵点C是弧AB的中点，

∴∠ABC＝45°

又∵AC＝EC，∠ACB＝∠ECB＝90°，BC＝BC

∴△ABC≌△EBC（SAS）

∴∠ABC＝∠EBC＝45°

∴∠EBA＝90°，且AB是⊙O 的直径

∴EB是⊙O的切线．

（2）如图，延长BD交AE于点M

∵AB是⊙O 的直径

∴∠ACB＝90°，∠ADB＝90°

∵点D是弧BC的中点

∴∠MAD＝∠BAD＝∠BAC＝22.5°，且∠ADB＝∠ADM＝90°，AD＝AD

∴△ADB≌△ADM（ASA）

∴BD＝DM

∴BM＝2BD

∵点C是弧AB的中点

∴AC＝BC，∠ACF＝∠BCM＝90°，∠CBD＝∠CAD

∴△ACF≌△BCM（AAS）

∴AF＝BM

∴AF＝2BD．

（3）如图，过点F作FN⊥AB，过点G作GK⊥AE，垂足分别为N，K，

由（2）可知∠CAD＝∠BAD＝22.5°，∠ABC＝∠E＝45°，

∴∠BFD＝∠BAF+∠ABF＝22.5°+45°＝67.5°，∠BGF＝∠CAD+∠E＝22.5°+45°＝67.5°，

∴∠BFD＝∠BGF，

∴BF＝BG，

∵∠CAF＝∠NAF，FC⊥AE，FN⊥AB，

∴NF＝CF，

又∵∠ABC＝45°，∠FNB＝90°，

∴NF＝BN＝CF，

∴ ，

同理，

∴，，

∴，

∴BF是线段CF和线段EG的比例中项．

即线段BG是线段CF和线段EG的比例中项．