【题目】如图,四边形OABC为矩形,OA=4,OC=5,正比例函数y=2x的图像交AB于点D,连接DC,动点Q从D点出发沿DC向终点C运动,动点P从C点出发沿CO向终点O运动.两点同时出发,速度均为每秒1个单位,设从出发起运动了t s.
(1)求点D的坐标;
(2)若PQ∥OD,求此时t的值?
(3)是否存在时刻某个t,使S△DOP=S△PCQ?若存在,请求出t的值,若不存在,请说明理由;
(4)当t为何值时,△DPQ是以DQ为腰的等腰三角形?
【答案】(1)D(2,4);(2);(3)存在,t的值为2 ;(4)当
或
或
时,△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形
【解析】
(1)由题意得出点D的纵坐标为4,求出y=2x中y=4时x的值即可得;
(2)由PQ∥OD证△CPQ∽△COD,得,即
,解之可得;
(3)分别过点Q、D作QE⊥OC,DF⊥OC交OC与点E、F,对于直线y=2x,令y=4求出x的值,确定出D坐标,进而求出BD,BC的长,利用勾股定理求出CD的长,利用两对角相等的三角形相似得到三角形CQE与三角形CDF相似,由相似得比例表示出QE,由底PC,高QE表示出三角形PQC面积,再表示出三角形ODP面积,依据S△DOP=S△PCQ列出关于t的方程,解之可得;
(4)由三角形CQE与三角形CDF相似,利用相似得比例表示出CE,PE,进而利用勾股定理表示出PQ2,DP2,以及DQ,分两种情况考虑:①当DQ=DP;②当DQ=PQ,求出t的值即可.
解:(1)∵OA=4
∴把代入
得
∴D(2,4).
(2)在矩形OABC中,OA=4,OC=5
∴AB=OC=5,BC=OA=4
∴BD=3,DC=5
由题意知:DQ=PC=t
∴OP=CQ=5t
∵PQ∥OD
∴
∴
∴ .
(3)分别过点Q、D作QE⊥OC, DF⊥OC交OC与点E、F
则DF=OA=4
∴DF∥QE
∴△CQE ∽△CDF
∴
∴
∴
∵ S△DOP=S△PCQ
∴
∴,
当t=5时,点P与点O重合,不构成三角形,应舍去
∴t的值为2.
(4)∵△CQE ∽△CDF
∴
∴
∴
①当时,
,
解之得:
②当时,
解之得:
答:当或
或
时,△DPQ是一个以DQ为腰的等腰三角形.
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【题目】已知一次函数的图象与反比例函数
的图象交于点
,与
轴交于点
,若
,且
.
(1)求反比例函数与一次函数的表达式;
(2)若点为x轴上一点,
是等腰三角形,求点
的坐标.
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【题目】如图,是一张盾构隧道断面结构图.隧道内部为以O为圆心,AB为直径的圆.隧道内部共分为三层,上层为排烟道,中间为行车隧道,下层为服务层.点A到顶棚的距离为1.6m,顶棚到路面的距离是6.4m,点B到路面的距离为4.0m.请求出路面CD的宽度.(精确到0.1m)
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为_____.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2,以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3,以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去,其中的长为_____.
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【题目】如图,菱形OABC的顶点O在坐标原点,顶点A在x轴上,∠B=120°,OA=4,将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA′B′C′的位置,则点B′的坐标为( )
A. (2,﹣2
)B. (
,-
)C. (2,﹣2)D. (
,-
)
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【题目】如图所示,AB是⊙O的直径,点C是弧AB的中点,点D是弧BC的中点,连接AC,BC,AD,BD,且AD与BC相交于点F,延长AC至E,使AC=EC,连接EB交AD的延长线于点G.
(1)求证:EB是⊙O的切线;
(2)求证;AF=2BD;
(3)求证:线段BG是线段CF和线段EG的比例中项.
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【题目】如图,圆形纸片⊙O半径为 5,先在其内剪出一个最大正方形,再在剩余部分剪出 4个最大的小正方形,则 4 个小正方形的面积和为_______.
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