矩形ABCD内接于⊙O.将△ADC沿AC翻折.点D落在⊙O上点E处.连结BE.(1)如图1.判断四边形AEBC的形状.并加以证明,(2)如图2.PA是⊙O的切线并交CB的延长线于点P.切点是A．若⊙O的直径为5.$\frac{AB}{PB}=\frac{3}{4}$.动点M从点P出发.以2cm/s的速度沿着射线PC的方向运动.以点M为圆心.PM长为半径作圆.设点M运动� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

1．矩形ABCD内接于⊙O，将△ADC沿AC翻折，点D落在⊙O上点E处，连结BE，

（1）如图1，判断四边形AEBC的形状，并加以证明；
（2）如图2，PA是⊙O的切线并交CB的延长线于点P，切点是A．若⊙O的直径为5，$\frac{AB}{PB}=\frac{3}{4}$，动点M从点P出发，以2cm/s的速度沿着射线PC的方向运动，以点M为圆心，PM长为半径作圆，设点M运动的时间为ts（t＞0）．
①当运动时间t为何值时，⊙M与直线EB相切；
②根据⊙M与线段AC公共点的个数，直接写出相应的运动时间t的值或取值范围．

分析（1）由BC=AD=AE可迅速得出结论；
（2）①设切点为G，利用相切的性质得出MG与BE垂直，再利用相似关系表示出BM，利用BM+PM=PC建立方程，解之即可；
②分别算出两个临界点的时间：圆M刚好与AC相切；M点刚好在PC中点处．过了PC的中点之后，A、C都不在圆M上了．

解答解：（1）∵AE=AD=BC，
∴弧AE=弧BC
∴∠ABE=∠BAC，
∴BE∥AC，
∴AEBC是等腰梯形；
（2）①设直BE于AB交于点F，⊙M切BE于点G，连接MG，则MG⊥BE，如图2，

∵AP是切线，AC是直径，
∴AC⊥AP，
∴△APB∽△CPA，
∴$\frac{AC}{AP}=\frac{AB}{PB}=\frac{3}{4}$，
∵AC=5，
∴AP=$\frac{20}{3}$，
∴AB=4，PB=$\frac{16}{3}$，BC=3，
又∵△MGB∽△ABC，
∴$MG=\frac{4}{5}MB$，
∵MG=MP=2t，
∴MB=$\frac{16}{3}-2t$，
∴$2t=\frac{4}{5}×（\frac{16}{3}-2t）$，
解得：t=$\frac{32}{27}$；
即：t=$\frac{32}{27}$时，⊙M与直线EB相切；
②当⊙M与AC相切于点H时，如图3，

PC=PB+BC=$\frac{25}{3}$，MH=PM=2t，CM=$\frac{25}{3}-2t$，
∵$MH=\frac{4}{5}CM$，
∴$2t=\frac{4}{5}×（\frac{25}{3}-2t）$，
解得：t=$\frac{50}{27}$，
当M为PC中点时，A、C同时在⊙M上，此时，t=$\frac{25}{3}÷2÷2$=$\frac{25}{12}$，
综上所述：
当0＜t＜$\frac{50}{27}$时，⊙M与PC没有公共点；
当t=$\frac{50}{27}$时，⊙M与PC有一个公共点；
当$\frac{50}{27}$＜t≤$\frac{25}{12}$时，⊙M与PC有两个公共点；
当t＞$\frac{25}{12}$时，⊙M与PC没有公共点．

点评本题考查了翻折的性质、矩形的性质、圆的性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线定理等多个知识点，综合性较强，有一定难度．熟悉圆的基本性质、清楚动点运动过程中的特殊位置、熟练运用相似三角形的线段比例关系是解答本题的关键．

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