Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⊙O经过点D．

（1）求证：①BC是⊙O的切线；②CD2＝CECA；

（2）若点F是劣弧AD的中点，且CE＝3，试求阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）①见解析，②见解析；（2）.

【解析】

（1）①证明DO∥AB，即可求解；

②证明CDE∽△CAD，即可求解；

（2）证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影=S扇形DFO，即可求解．

（1）①连接OD，

∵AD是∠BAC的平分线，

∴∠DAB＝∠DAO，

∵OD＝OA，

∴∠DAO＝∠ODA，

∴∠DAO＝∠ADO，

∴DO∥AB，而∠B＝90°，

∴∠ODB＝90°，

∴BC是⊙O的切线；

②连接DE，

∵BC是⊙O的切线，

∴∠CDE＝∠DAC，

∠C＝∠C，

∴△CDE∽△CAD，

∴，

∴CD2＝CECA；

（2）连接DF、OF，

设圆的半径为r，

∵点F是劣弧AD的中点，

∴是OF是DA中垂线，

∴DF＝AF，

∴∠FDA＝∠FAD，

∵DO∥AB，

∴∠PDA＝∠DAF，

∴∠ADO＝∠DAO＝∠FDA＝∠FAD，

∴AF＝DF＝OA＝OD，

∴△OFD、△OFA是等边三角形，

∴∠C＝30°，

∴OD＝OC＝（OE+EC），而OE＝OD，

∴CE＝OE＝r＝3，

S阴影＝S扇形DFO＝×π×32＝．