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【题目】已知,把45°的直三角板的直角顶点E放在边长为6的正方形ABCD的一边BC上,直三角板的一条直角边经过点D,以DE为一边作矩形DEFG,且GF过点A,得到图1

1)求矩形DEFG的面积;

2)若把正方形ABCD沿着对角线AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,把45°的直三角板的一个45°角的顶点与等腰直角三角形ABC的直角顶点B重合,直三角板夹这个45°角的两边分别交CACA的延长线于点HP,得到图2.猜想:CHPAHP之间的数量关系,并说明理由;

3)若把边长为6的正方形ABCD沿着对角线AC剪掉一半得到等腰直角三角形ABC,点MRtABC内一个动点,连接MAMBMC,设MA+MB+MCy,直接写出 的最小值.

【答案】136;(2CH2+PA2HP2,理由见解析;(372+36

【解析】

1)根据正方形的性质得到∠ADC=∠DCE90°,根据矩形的性质得到∠AGD=∠GDE90°,根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论;

2)根据旋转的性质得到BKBP,∠PBA=∠KBC,∠BCK=∠BAP135°,由勾股定理得到,求得∠PBA+ABE45°,通过等量代换得到∠KBC+ABE45°,根再据全等三角形的性质得到HKHP,根据勾股定理即可得到结论;

3)根据旋转的性质得到MCKNBMBK,根据等边三角形的性质得到MKBM,于是得到MA+MB+MCAM+MK+KN,当AMKN四点共线时,AN就是所求的MA+MB+MC的最小值,过NNQABAB的延长线于Q,求得AQAB+BQ,再根据勾股定理即可得到结论.

解:(1)∵四边形ABCD是正方形,

∴∠ADC=∠DCE90°

∵四边形DEFG是矩形,

∴∠AGD=∠GDE90°

∴∠DCE=∠AGD90°,∠ADC=∠GDE90°

∴∠ADC﹣∠ADE=∠GDE﹣∠ADE

∴∠EDC=∠ADG

∵∠EDC=∠ADG,∠DCE=∠AGD90°

∴△ECD∽△AGD

DGDEDCDA6×636

∴矩形DEFG的面积=DGDE36

2

证明:把△BAP绕着点B顺时针旋转90°得到△BCK,连接KH

由旋转得△BAP≌△BCK

BKBP,∠PBA=∠KBC,∠BCK=∠BAP

∴∠HCK

∴由勾股定理得,

∵∠PBE45°,

∴∠PBA+ABE45°,

∵∠PBA=∠KBC

∴∠KBC+ABE45°,

∵∠ABC90°,

∴∠HBK45°,

∵∠PBE45°,

∴∠HBK=∠PBE45°,

BKBP,∠HBK=∠PBEBHBH

∴△BHP≌△BHKSAS),

HKHP

3)把△BMC绕着点B顺时针旋转60°得到△BKN,连接MKBNNC

由旋转得,△BMC≌△BKN

MCKNBMBK

BMBK,∠MBK60°,

∴△BKM是等边三角形,

MKBM

MA+MB+MCAM+MK+KN

AMKN四点共线时,AN就是所求的MA+MB+MC的最小值,

NNQABAB的延长线于Q

,∠BQN90°,

QNBNsin30°=6×3BQBNcos30°=

AQAB+BQ

RtAQN中,由勾股定理得,

的最小值为

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