Question

【题目】如图，为⊙的直径，点在的延长线上，点在⊙上，且．

(1)求证：是⊙的切线；

(2)已知，，点是的中点，，垂足为，交于点，求的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)EF=.

【解析】

(1)连接OC，由AB是直径，可得∠ACB=90°，再由OA=OC，可得∠CAO=∠ACO，证明△PBC∽△PCA，可得∠PCB=∠CAO，继而可得∠OCP=90°，由此即可得结论；

(2)连接OD，先求出PA=40，然后求出OA=15，由点是的中点，则可得∠FOD=90°，由△PBC∽△PCA，可得，证明△AEF∽△ACB，可得，即AE=2EF，证明△DOF∽△AEF，可得，从而求出OF=，进而求出AF=，在Rt△AEF中，利用勾股定理求出EF长即可.

(1)连接OC，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°，

∵OA=OC，

∴∠CAO=∠ACO，

∵，

∴，

又∵∠P=∠P，

∴△PBC∽△PCA，

∴∠PCB=∠CAO，

∴∠PCB+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，

∴PC是⊙O的切线；

(2)连接OD，

∵，，，

∴PA=40，

∴AB=PA-PC=30，

∴OA=15，

∵点是的中点，AB是直径，

∴OD=OA=15，DO⊥AB，即∠FOD=90°，

∵△PBC∽△PCA，

∴，

∵∠AEF=∠ACB=90°，∠A=∠A，

∴△AEF∽△ACB，

∴，即AE=2EF，

∵∠AEF=∠DOF=90°，∠AFE=∠DFO，

∴△DOF∽△AEF，

∴，

∴OF=OD=，

∴AF=AO-OF=，

在Rt△AEF中，AF2=AE2+EF2，

即()2=(2EF)2+EF2，

∴EF=.