Question

【题目】某店因为经营不善欠下38000元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）已知该店代理的某品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日的售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．

（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）当销售价为多少元时，该店的日销售利润最大；

（3）该店每天支付工资和其它费用共250元，该店能否在一年内还清所有债务．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当销售价为55元时，该店的日销售利润最大，最大利润为450元；（3）该店能在一年内还清所有债务．

【解析】

（1）利用待定系数法，即可求得日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式

（2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．

（3）根据（2）中的最大利润，可求得除去其他支出的利润，即可判断能否在一年内还清所有债务

（1）由图象可得：

当40≤x＜58时，设y=k1x+b1，把（40，60），（58，24）代入得

，解得：，

∴y=﹣2x+140（40≤x＜58）

当58≤x≤71时，设y=k2x+b2，把（58，24），（71，11）代入得

，解得：，

∴y=﹣x+82（58≤x≤71）

故日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系为：;

（2）由（1）得

利润w=

整理得w=

故当40≤x＜58时，w=﹣2（x﹣55）2+450

∵﹣2＜0，

∴当x=55时，有最大值450元

当58≤x≤71时，w=﹣（x﹣61）2+441

∵﹣1＜0，

∴当x=61时，有最大值441元

综上可得当销售价为55元时，该店的日销售利润最大，最大利润为450元

（3）由（2）可知每天的最大利润为450元，

则有450﹣250=200元

一年的利润为：200×365=73000元

所有债务为：30000+38000=68000元

∵73000＞68000，

∴该店能在一年内还清所有债务．