Question

【题目】如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，

（1）（观察猜想）图1中，线段AP与BE的数量关系是 ，位置关系是 ．

（2）（探究证明）把△ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；

（3）（拓展延伸）把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出线段AP长度的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）AP＝BE，PA⊥BE；（2）成立，理由见解析；（3）PA的最大值为7，最小值为3

【解析】

(1)设PA交BE于点O，根据题目已知条件可以得到△DAC≌△EAB，从而得出PA＝BE，∠C＝∠PAE，因为∠CAP+∠BAO＝90°，即可证明出结论；

(2)结论成立，延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，根据题目已知条件得出△APD≌△MPC，进而得到∠EAB＝∠ACM，再证明得出△EAB≌△MCA，即可得出结论；

(3)因为AC＝10，CM＝4，所以6≤AM≤14，再利用AM＝2AP即可得出答案．

解：(1)设PA交BE于点O，

∵AD＝AE，AC＝AB，∠DAC＝∠EAB，

∴△DAC≌△EAB，

∴BE＝CD，∠ACD＝∠ABE，

∵∠DAC＝90°，DP＝PC，

∴PA＝CD＝PC＝PD，

∴PA＝BE，∠C＝∠PAE，

∵∠CAP+∠BAO＝90°，

∴∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠AOB＝90°，

∴PA⊥BE，

(2)结论成立．

理由：延长AP至M，使PM＝PA，连接MC，延长PA交BE于O，

∵PA＝PM，PD＝PC，∠APD＝∠CPM，

∴△APD≌△MPC，

∴AD＝CM，∠ADP＝∠MCP，

∴AD∥CM，

∴∠DAC+∠ACM＝180°，

∵∠BAC＝∠EAD＝90°，

∴∠EAB＝∠ACM，

∵AB＝AC，AE＝CM，

∴△EAB≌△MCA，

∴BE＝BM，∠CAM＝∠ABE，

∵PA＝AM，PA＝BE，

∵∠CAM+∠BAO＝90°，

∴∠ABE+∠BAO＝90°，

∴∠AOB＝90°，

∴PA⊥BE．

(3)∵AC＝10，CM＝4，

∴10﹣4≤AM≤10+4，

∴6≤AM≤14，

∵AM＝2AP，

∴3≤PA≤7．

∴PA的最大值为7，最小值为3．