Question

15．学习了一次函数、二次函数、反比例函数后，爱钻研的小敏尝试用同样的方法研究函数y=$\frac{3x+1}{x}$，从而得出以下命题：
（1）当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；
（2）y的值有可能等于3；
（3）当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；
（4）当y＞0时，x＞0或x＜-$\frac{1}{3}$．
你认为真命题是（　　）

• A． （1）（3）
• B． （1）（4）
• C． （1）（3）（4）
• D． （2）（3）（4）

Answer 1

分析 （1）将函数y=$\frac{3x+1}{x}$变形为y=3+$\frac{1}{x}$，从而可以确定其增减性；
（2）根据3x+1≠3x可作出判断；
（3）将函数y=$\frac{3x+1}{x}$变形为y=3+$\frac{1}{x}$可以得到y的值随着x的增大越来越接近3；
（4）根据题意得到不等式组，从而可以确定自变量的取值范围．

解答 解：（1）∵y=$\frac{3x+1}{x}$=3+$\frac{1}{x}$，
∴当x＞0时，y的值随着x的增大而减小；

（2）∵3x+1≠3x，
∴y的值不可能为3，故错误；

（3）∵y=$\frac{3x+1}{x}$=3+$\frac{1}{x}$，
∴当x＞0时，y的值随着x的增大越来越接近3；

（4）当y＞0时，可得$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＞0}\\{x＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{3x+1＜0}\\{x＜0}\end{array}\right.$，
解得：x＞0或x＜-$\frac{1}{3}$，故正确，
∴正确的有（1）、（3）、（4），
故选C．

点评 本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是正确的对函数的解析式进行变形，难度不大．