Question

【题目】若抛物线y＝ax2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1，且该抛物线经过点（3，0）．

（1）求该抛物线对应的函数表达式．

（2）当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为　 ．

（3）若方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，则n的取值范围为　 ．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）﹣4≤y≤5；（3）n≥﹣4．

【解析】

（1）由对称轴x＝1可得b=-2a，再将点（3，0）代入抛物线解析式得到9a+3b-3=0，然后列二元一次方程组求出a、b即可；

（2）用配方法可得到y＝（x﹣1）2﹣4，则当x=1时，y有最小值-4，而当x=-2时，y=5，即可完成解答；

（3）利用直线y=n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点的坐标就是方程ax2+bx-3=n有实数解，再根据根的判别式列不式、解不等式即可.

解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴﹣ ＝1，即b＝﹣2a，

∵抛物线经过点（3，0）．

∴9a+3b﹣3＝0，

把b＝﹣2a代入得9a﹣6a﹣3＝0，解得a＝1，

∴b＝﹣2，

∴抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴x＝1时，y有最小值﹣4，

当x＝﹣2时，y＝4+4﹣3＝5，

∴当﹣2≤x≤2时，则函数值y的取值范围为﹣4≤y≤5；

（3）当直线y＝n与抛物线y＝（x﹣1）2﹣4有交点时，方程ax2+bx﹣3＝n有实数根，

∴n≥﹣4．