Question

在直角坐标系中，y=x²+ax+2a与x轴交于A，B两点，点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后的对应点C在此抛物线上，点P（4，2）．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图1，点F是线段AC上一动点，作矩形FC₁B₁A₁，使C₁在CB上，B₁，A₁在AB上，设线段A₁F的长为a，求矩形FC₁B₁A₁的面积S与a的函数关系式，并求S的最大值；
（3）如图2，在（1）的抛物线上是否存在两个点M，N，使以O，M，N，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后对应点是点C，
∴C（0，-2）；
代入抛物线的解析式中，得：
2a=-2，
即a=-1；
∴该抛物线的解析式为：y=x²-x-2．

（2）易知：A（-1，0），B（2，0），C（0，-2）；
则AB=3，OC=2．
∵四边形A₁B₁C₁F是矩形，则FC₁∥AB，
∴△CC₁F∽△CBA，
得：，
故FC₁=（2-a）；
∴S=A₁F•FC₁=a×（2-a）=-（a²-2a）；
即：S=-（a-1）²+，
即当a=1时，S_最大=．

（3）假设存在符合条件的M、N点，则：
①以OP为平行四边形的边长；
设M（a，a²-a-2），则N（a-4，a²-a-4）；
由于N点在抛物线的图象上，
（a-4）²-（a-4）-2=a²-a-4，
解得a=，
故M（，），N（-，）；
②以OP为平行四边形对角线：先求出OP中点坐标为（2，1），
设M（a，a²-a-2），则N（4-a，-a²+a+4）；
将N点坐标代入抛物线解析式，
得：（4-a）²-（4-a）-2=-a²+a+4，
解得a=3或1，
则M，N的坐标分别为（3，4），（1，-2）或（1，-2），（3，4）；
因此存在符合条件的M、N点，它们的坐标为：
M（，），N（-，）或M（-，），N（，）或M（3，4），N（1，-2）或M（1，-2），N（3，4）．
分析：（1）由于点E（2，0）绕点O顺时针旋转90°后得到点C，那么C（0，-2），将它的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出a的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）根据（1）所得抛物线的解析式，即可求出A、B的坐标，在△ABC中，易求得AB、OC的长，而△CC₁F∽△CBA，根据得到的比例线段，即可求得FC₁的表达式，从而根据矩形的面积公式求出S、a的函数关系式．
（3）此题应分作两种情况考虑：
①以OP为平行四边形的边，那么MN平行且相等于OP，可设出点M的坐标，根据O、P的坐标可知M、N的横坐标的差为4，纵坐标的差为2，可据此表示出点N的坐标，然后代入抛物线的解析式中，即可求得M、N的坐标；
②以OP为平行四边形的对角线，首先求出OP中点（即平行四边形对角线的交点）的坐标，设出点M坐标后，仿照①的方法表示出点N的坐标，再代入抛物线的解析式中求得M、N的坐标即可．
点评：此题考查了图形的旋转变换、二次函数解析式的确定、图形面积的求法以及平行四边形的判定等重要知识点，在（3）题中，由于OP是平行四边形的边还是对角线并不确定，因此一定要分类讨论，以免漏解．