Question

1．如图，AC是⊙O的弦，AD经过圆心O，交⊙O于点B，直线CD与⊙O相切，∠CAD=30°．
（1）求证：AD=3AO．
（2）若⊙O半径为5，求阴影部分的周长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质可知OC⊥CD，从而可知△OCD为直角三角形，由圆周角定理可求得∠COB=60°，从而可求得∠D=30°，利用含30°直角三角形的性质可求得OD=2OC，从而可求得AD=3AO；
（2）由（1）可知BD=5，可求得CD=5$\sqrt{3}$，然后利用扇形的弧长公式可求得弧BC的长度即可．

解答 解：（1）连接OC

∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，OC为⊙O半径．
∴∠OCD=90°．
∵∠CAD=30°，
∴∠COB=60°．
∴∠D=30°．
∴OD=2OC．
∴AD=OA+OD=3AO．
（2）∵AD=3AO，AO=5，
∴BD=AD-AB=5．
在Rt△OCD中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{C}^{2}}$=5$\sqrt{3}$，DC=5$\sqrt{3}$，
l=$\frac{nπr}{180}$=$\frac{60π×5}{180}$=$\frac{5}{3}π$．
∴阴影部分的周长为：5$\sqrt{3}$+5+$\frac{5}{3}π$．

点评 本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、扇形的弧长公式的应用，求得∠COB=60°、∠D=30°是解题的关键．