Question

两个反比例函数y=

k1

x

和y=

k2

x

（k₁＞k₂＞0）在第一象限内的图象如图，动点P在y=

k1

x

的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=

k2

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

k2

x

的图象于点B．求证：四边形PAOB的面积是定值．

Answer 1

考点：反比例函数系数k的几何意义

专题：证明题

分析：由在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是

1

2

|k|，所构成的矩形的面积是|k|，且保持不变，得出S_矩形OCPD=k₁，S_△AOC=S_△DBO=

1

2

k₂，再根据四边形PAOB的面积=S_矩形OCPD-S_△AOC-S_△DBO，化简后即可求出四边形PAOB的面积是k₁-k₂，为
定值．

解答：证明：∵动点P在y=

k1

x

的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=

k2

x

的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=

k2

x

的图象于点B，
∴S_矩形OCPD=k₁，S_△AOC=S_△DBO=

1

2

k₂，
∴四边形PAOB的面积=S_矩形OCPD-S_△AOC-S_△DBO=k₁-2×

1

2

k₂=k₁-k₂．
∴四边形PAOB的面积是定值．

点评：本题考查了反比例函数y=

k

x

中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．