Question

19．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：AE=FH．

Answer 1

分析 根据角平分线上的点到两边的距离相等可得：FH=FA；则只要在确定FA与AE的关系即可确定AE与FH之间的关系；在直角三角形AFB中∠AFB+∠ABF=90°，在直角三角形BDE中，∠DEB+∠EBD=90°，根据角平分线的性质可知：∠ABF=∠DBE，则∠AFB=∠DEB，又知∠AEF=∠DEB，则∠AFB=∠AEF，所以AE=FA，则AE=FH．

解答 证明：∵BF平分∠ABC，FA⊥AB，FH⊥BC，
∴FH=FA，
∵∠AFB+∠ABF=90°，∠DEB+∠EBD=90°，且∠ABF=∠EBD，
∴∠AFB=∠DEB，
∵∠AEF=∠DECB，
∴∠AFB=∠AEF，
∴AE=FA，
∴AE=FH．

点评 本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质；解题时利用了AF这个中间量进行了等量代换是解答本题的关键．