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【题目】如图,已知抛物线y=(x+2)(x4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与x轴交于点C,经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D.

(1)若点D的横坐标为5,求抛物线的函数表达式;

(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与ABC相似,求k的值;

(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?

【答案】1、k=2k=或k=32,2

【解析】

试题分析:1、首先求出A、B的坐标,然后根据点B的坐标得出直线解析式,从而得到点D的坐标,然后将点D的坐标代入解析式求出k的值;2由抛物线解析式,令x=0,得y=k,C(0,k),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上,所以ABP为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是ABC∽△APB或ABC∽△ABP,然后分两种情况分别进行计算;3、首先得出t=AF+DF,根据垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段长度,然后根据一次函数的性质求出答案.

试题解析:1、抛物线y=x+2)(x4 令y=0,解得x=2或x=4,

A(2,0),B(4,0).

直线y=x+b经过点B(4,0),

∴﹣×4+b=0,解得b=

直线BD解析式为:y=x+

当x=5时,y=3

D(5,3).

点D(5,3)在抛物线y=(x+2)(x4)上,

5+2)(54)=3

k=

2、由抛物线解析式,令x=0,得y=k,

C(0,k),OC=k.

因为点P在第一象限内的抛物线上,所以ABP为钝角.

因此若两个三角形相似,只可能是ABC∽△APB或ABC∽△ABP.

ABC∽△APB,则有BAC=PAB,如答图21所示.

设P(x,y),过点P作PNx轴于点N,则ON=x,PN=y.

tanBAC=tanPAB,即:

y=x+k.

Dx,x+k

代入抛物线解析式y=x+2)(x4

x+2)(x4=x+k,

整理得:6x16=0,

解得:x=8或x=2(与点A重合,舍去),

P(8,5k).

∵△ABC∽△APB,

解得:k=

ABC∽△ABP,则有ABC=PAB,如答图22所示.

同理,可求得:k=

综上所述,k=或k=

3、由(1)知:D(5,3),

如答图22,过点D作DNx轴于点N,则DN=3,ON=5,BN=4+5=9,

tanDBA=

∴∠DBA=30°

过点D作DKx轴,则KDF=DBA=30°

过点F作FGDK于点G,则FG=DF.

由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF,

t=AF+FG,即运动时间等于折线AF+FG的长度.

由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.

过点A作AHDK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.

A点横坐标为2,直线BD解析式为:y=x+

y=×2)+=2

F(2,2).

综上所述,当点F坐标为(2,2)时,点M在整个运动过程中用时最少.

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