【题目】如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与x轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;
(2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值;
(3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少?
【答案】(1)、k=;(2)、k=或k=;(3)、(﹣2,2)
【解析】
试题分析:(1)、首先求出A、B的坐标,然后根据点B的坐标得出直线解析式,从而得到点D的坐标,然后将点D的坐标代入解析式求出k的值;(2)、由抛物线解析式,令x=0,得y=k,∴C(0,﹣k),OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP,然后分两种情况分别进行计算;(3)、首先得出t=AF+DF,根据垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段长度,然后根据一次函数的性质求出答案.
试题解析:(1)、抛物线y=(x+2)(x﹣4), 令y=0,解得x=﹣2或x=4,
∴A(﹣2,0),B(4,0).
∵直线y=﹣x+b经过点B(4,0),
∴﹣×4+b=0,解得b=,
∴直线BD解析式为:y=﹣x+.
当x=﹣5时,y=3,
∴D(﹣5,3).
∵点D(﹣5,3)在抛物线y=(x+2)(x﹣4)上,
∴(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3,
∴k=.
(2)、由抛物线解析式,令x=0,得y=k,
∴C(0,﹣k),OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.
因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△ABP.
①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2﹣1所示.
设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y.
tan∠BAC=tan∠PAB,即:,
∴y=x+k.
∴D(x,x+k),
代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4),
得(x+2)(x﹣4)=x+k,
整理得:﹣6x﹣16=0,
解得:x=8或x=2(与点A重合,舍去),
∴P(8,5k).
∵△ABC∽△APB,
∴,
即,
解得:k=.
②若△ABC∽△ABP,则有∠ABC=∠PAB,如答图2﹣2所示.
与①同理,可求得:k=.
综上所述,k=或k=.
(3)、由(1)知:D(﹣5,3),
如答图2﹣2,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,ON=5,BN=4+5=9,
∴tan∠DBA=,
∴∠DBA=30°.
过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G,则FG=DF.
由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF,
∴t=AF+FG,即运动时间等于折线AF+FG的长度.
由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段.
过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点.
∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为:y=﹣x+,
∴y=﹣×(﹣2)+=2,
∴F(﹣2,2).
综上所述,当点F坐标为(﹣2,2)时,点M在整个运动过程中用时最少.
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