Question

【题目】（本题满分10分）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是圆O的切线；

（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2

【解析】（1）证明：

∵2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°

∵∠DOC=90°，且DO=CO，

∴△OCD为等腰直角三角形，∠OCD=45°

∴∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°

∴直线AC是⊙O的切线．

（2）解：连接BO，

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠DCB=30°，∴∠DOB=60°，

∵DO=BO，

∴△BDO为等边三角形，

∴BD=OB=4．

（1）利用切线的判定定理求出∠ACO=∠ACD+∠DCO=45°+45°=90°，即可得出答案；

（2）利用圆周角定理得出△BDO为等边三角形，即可得出答案．