Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A、B坐标分别为A（O，a）、B（b，a），且a、b满足：，现同时将点A、B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD、AB．

（1）求点C、D的坐标；

（2）在y轴上是否存在点M，连接MC、MD，使三角形MCD的面积为30？若存在这样的点，求出点M的坐标；若不存在，试说明理由．

（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA、PO，当点P在BD上移动时（不与B、D重合），的值是否发生变化，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点C（﹣1，0），D（4，0）；（2）存在，点M（0，12）或（0，﹣12）；（3）不变，理由见解析.

【解析】

（1）由偶次方及算术平方根的非负性可求出a、b的值，进而即可得出点A、B的坐标，再根据平移的性质可得出点C、D的坐标；

（2）设存在点M（0，y），根据三角形的面积结合S△MCD＝30，即可得出关于y的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；

（3）过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO，故比值为1．

（1）∵，

∴a＝3，b＝5，

∴点A（0，3），B（5，3）．

将点A，B分别向下平移3个单位，再向左平移1个单位，得到点C、D，

∴点C（﹣1，0），D（4，0）．

（2）设存在点M（0，y），

根据题意得：S△MCD＝×5|y|＝30，

∴解得：y＝±12，

∴存在点M（0，12）或（0，﹣12）．

（3）当点P在BD上移动时，＝1不变，理由如下：

过点P作PE∥AB交OA于E，

∵CD由AB平移得到，则CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP＝∠APE，∠DOP＝∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP＝∠APE+∠OPE＝∠APO，

∴＝1．