Question

4．阅读理解：如图（1），在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
（1）问题发现
如图（1），若∠A=∠B=∠DEC=α（0°＜α＜180°），试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由．
（2）拓展探究
如图（1），在（1）的前提下，试探究当点E在边AB的什么位置时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，并说明理由；
（3）解决问题
如图（2），将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB上的点E处，若点E恰好是四边形ABCF的边AB上的一个强相似点，请直接写出AB与BC的数量关系．

Answer 1

分析 （1）要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
（2）当点E是AB中点时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点．只要证明△DEC∽△EBC即可．
（3）由点E是矩形ABCD的AB边上的一个强相似点，得△AEM∽△BCE∽△ECM，根据相似三角形的对应角相等，可求得∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，利用含30°角的直角三角形性质可得BE与AB，BC边之间的数量关系，从而可求出AB与BC边之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1中，结论：点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．理由如下：

∵∠DEB=∠A+∠ADE=∠DEC+∠CEB，
又∵∠A=∠B=∠DEC，
∴∠ADE=∠CEB，∵∠A=∠B，
∴△DAE∽△EBC．
∴E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

（2）当点E是AB中点时，点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点．
理由：∵△DAE∽△EBC，
∴$\frac{DE}{EC}$=$\frac{AE}{BC}$，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{EC}{BC}$，
∵AE=EB，
∴$\frac{DE}{EB}$=$\frac{EC}{BC}$，∵∠DEC=∠B，
∴△DEC∽△EBC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点．

（3）如图2中，结论：$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．理由如下：

∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴∠BCE=∠ECM=∠AEM．
由折叠可知：△ECM≌△DCM，
∴∠ECM=∠DCM，CE=CD，
∴∠BCE=$\frac{1}{3}$∠BCD=30°，
BE=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△BCE中，cos∠BCE=$\frac{BC}{EC}$=$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质/等知识，解题的关键是理解相似点和强相似点的概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．