Question

20．如图，AB是⊙O的直径，ED是⊙O的切线，D为切点，AE⊥DE，交⊙O于点C，垂足为E，连接AD．
（1）求证：AD为∠CAB的平分线；
（2）连接BC，交AD于F，若AB=10，AE=8，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD交BC于M，由切线的性质和垂直的定义得到OD∥AE，根据平行线的性质得到∠2=∠3，由同圆的半径相等，得到∠1=∠3，等量代换得到结论；
（2）连接BD，通过三角形相似得到比例式求得AD，DE，根据垂径定理得到OD垂直平分BC，根据矩形的性质和相似三角形的性质求出CM，BC，AC，再根据三角形相似列比例式求解．

解答 （1）证明：如图1连接OD交BC于M，
∵ED是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，∵AE⊥DE，
∴OD∥AE，
∴∠2=∠3，
∵OA=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD为∠CAB的平分线；

（2）解：如图2，连接BD，由（1）证得∠1=∠2，
∵∠AED=∠ADB=90°，
∴△AED∽△ADB，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=$\sqrt{AE•AB}$=4$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{{AD}^{2}{-AE}^{2}}$=4，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴四边形CMDE是矩形，
∴CM=DE=4，
∴BC=2CM=2DE=8，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}{-BC}^{2}}$=6，
∵FC∥DE，
∴△ACF∽△AED，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CF}{DE}$，
∴CF=$\frac{6×4}{8}$=3．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，正确的作出辅助线是解题关键．