Question

8．设a为无理数，n为整数，我们定义：当|n-a|＜|n+1-a|时，称a靠近n．例如：因为|1-$\sqrt{2}$|＜|2-$\sqrt{2}$|，|1-$\sqrt{3}$|＞|2-$\sqrt{3}$|，$\sqrt{2}$靠近1，$\sqrt{3}$靠近2．利用计算器探究：
（1）在$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$，$\sqrt{7}$，$\sqrt{8}$中哪些靠近2？哪些靠近3？
（2）在$\sqrt{10}$，$\sqrt{11}$，$\sqrt{12}$，$\sqrt{13}$，$\sqrt{14}$，$\sqrt{15}$中哪些靠近3？哪些靠近4？
（3）在$\sqrt{17}$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{19}$，$\sqrt{20}$，$\sqrt{21}$，$\sqrt{22}$，$\sqrt{23}$中哪些靠近4？哪些靠近5？
（4）猜测：在$\sqrt{{n}^{2}+1}$，$\sqrt{{n}^{2}+2}$，$\sqrt{{n}^{2}+3}$，…，$\sqrt{（n+1）^{2}-1}$共有多少个无理数？其中多少个靠近n？（友情提示：$\sqrt{（n+1）^{2}-1}$=$\sqrt{{n}^{2}+2n}$）

Answer 1

分析 根据我们定义：当|n-a|＜|n+1-a|时，称a靠近n，估算出无理数的范围，进行逐一分析，即可解答．

解答 解：（1）∵|2-$\sqrt{5}$|＜|3-$\sqrt{5}$|，|2-$\sqrt{6}$|＜|3-$\sqrt{6}$|，|2-$\sqrt{7}$|＞|3-$\sqrt{7}$|，|2-$\sqrt{8}$|＞|3-$\sqrt{8}$|，
∴$\sqrt{5}$，$\sqrt{6}$接近2，$\sqrt{7}$，$\sqrt{8}$接近3；
（2）∵|3-$\sqrt{10}$|＜|4-$\sqrt{10}$|，|3-$\sqrt{11}$|＜|4-$\sqrt{11}$|，|3-$\sqrt{12}$|＜|4-$\sqrt{12}$|，|3-$\sqrt{13}$|＞|4-$\sqrt{13}$|，|3-$\sqrt{14}$|＞|4-$\sqrt{14}$|，|3-$\sqrt{15}$|＞|4-$\sqrt{15}$|，
∴$\sqrt{10}$，$\sqrt{11}$，$\sqrt{12}$接近3，$\sqrt{13}，\sqrt{14}$，$\sqrt{15}$接近4；
（3）∵|4-$\sqrt{17}$|＜|5-$\sqrt{17}$|，|4-$\sqrt{18}$|＜|5-$\sqrt{18}$|，|4-$\sqrt{19}$|＜|5-$\sqrt{19}$|，|4-$\sqrt{20}$|＜|5-$\sqrt{20}$|，
∴$\sqrt{17}$，$\sqrt{18}$，$\sqrt{19}$，$\sqrt{20}$接近4，
∵|4-$\sqrt{21}$|＞|5-$\sqrt{21}$|，|4-$\sqrt{22}$|＞|5-$\sqrt{22}$|，|4-$\sqrt{23}$|＞|5-$\sqrt{23}$|，|4-$\sqrt{24}$|＞|5-$\sqrt{24}$|，
∴$\sqrt{21}$，$\sqrt{22}$，$\sqrt{23}$，$\sqrt{24}$接近5；
（4）根据以上规律，猜测：共有2n个无理数，其中n个接近n．

点评 本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确定义：当|n-a|＜|n+1-a|时，称a靠近n．