【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6,点P以每秒1个单位的速度从
A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都
停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(Ⅰ)在运动过程中,请你用t表示P、Q两点间的距离,并求出P、Q两点间的距离
的最大值;
(Ⅱ)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式.
【答案】解:(Ⅰ)分两种情况考虑:
当Q在AB边上时,过Q作QE⊥AC,交AC于点E,连接PQ,如图1所示:
∵∠C=90°,
∴QE∥BC,
∴△ABC∽△AQE,
∴
在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
根据勾股定理得:AB=10,
∵AQ=2t,AP=t,
∴==,
整理得:PE=t,QE=t,
根据勾股定理得:PQ2=QE2+PE2 ,
整理得:PQ=t;
当Q在BC边上时,连接PQ,如图2所示:
由AB+BQ=2t,AB=10,得到BQ=2t﹣10,CQ=BC﹣BQ=6﹣(2t﹣10)=16﹣2t,
由AP=t,AC=8,得到PC=8﹣t,
根据勾股定理得:PQ==,
当Q与B重合时,PQ的值最大,
则当t=5时,PQ最大值为3;
(Ⅱ)分两种情况考虑:
当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP ,
此时S=APQE=tt=t2(0<t≤5);
当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP ,
此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣(8﹣t)(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40(5<t≤8).
综上,经过t秒的运动,△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为.
【解析】(Ⅰ)分Q在AB边上与Q在BC边上,分别如图1和图2所示,表示出PQ的长,当Q与B重合时,PQ取得最大值,求出即可;
(Ⅱ)分两种情况考虑:当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP;当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP , 分别表示出S与t的函数关系式即可.
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【题目】在平行四边形ABCD中,点E在AD边上,连接BE、CE,EB平分∠AEC .
(1)如图1,判断△BCE的形状,并说明理由;
(2)如图2,若∠A=90°,BC=5,AE=1,求线段BE的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,E,F分别是边AB,CD上的点,AE=CF,连接EF,BF;EF与对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC,FC=2,则AB的长为 .
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【题目】如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,AD⊥BC,垂足为D,AN是△ABC外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.
(1)求证:四边形ADCE是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形ADCE是正方形?给出证明.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,E是CD上的一点,△ABF是△ADE的旋转图形.
(1)写成由△ADE顺时针旋转到△ABF的旋转中心、旋转角的度数.
(2)连接EF,判断并说明△AEF的形状.
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【题目】我市某绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户,他们们种植了A、B两类蔬菜,两种植户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表:
种植户 | 种植A类蔬菜面积(单位:亩) | 种植B类蔬菜面积(单位:亩) | 总收入(单位:元) |
甲 | 1 | 3 | 13500 |
乙 | 2 | 2 | 13000 |
说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等
(1)求A、B两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
(2)今年甲、乙两种植户联合种植,计划合租50亩地用来种植A、B两类蔬菜,为了使总收入不低于16400元,问联合种植最多可以种植A类蔬菜多少亩?
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