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【题目】如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8.BC=6,点P以每秒1个单位的速度从
A向C运动,同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动,它们到C点后都
停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(Ⅰ)在运动过程中,请你用t表示P、Q两点间的距离,并求出P、Q两点间的距离
的最大值;
(Ⅱ)经过t秒的运动,求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式.

【答案】解:(Ⅰ)分两种情况考虑:
当Q在AB边上时,过Q作QE⊥AC,交AC于点E,连接PQ,如图1所示:

∵∠C=90°,
∴QE∥BC,
∴△ABC∽△AQE,

在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,
根据勾股定理得:AB=10,
∵AQ=2t,AP=t,
==
整理得:PE=t,QE=t,
根据勾股定理得:PQ2=QE2+PE2
整理得:PQ=t;
当Q在BC边上时,连接PQ,如图2所示:

由AB+BQ=2t,AB=10,得到BQ=2t﹣10,CQ=BC﹣BQ=6﹣(2t﹣10)=16﹣2t,
由AP=t,AC=8,得到PC=8﹣t,
根据勾股定理得:PQ==
当Q与B重合时,PQ的值最大,
则当t=5时,PQ最大值为3
(Ⅱ)分两种情况考虑:
当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP
此时S=APQE=tt=t2(0<t≤5);
当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP
此时S=S△ABC﹣S△PQC=×8×6﹣(8﹣t)(16﹣2t)=﹣t2+16t﹣40(5<t≤8).
综上,经过t秒的运动,△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式为
【解析】(Ⅰ)分Q在AB边上与Q在BC边上,分别如图1和图2所示,表示出PQ的长,当Q与B重合时,PQ取得最大值,求出即可;
(Ⅱ)分两种情况考虑:当Q在AB边上时,如图1,△ABC被直线PQ扫过的面积为S△AQP;当Q在BC边上时,△ABC被直线PQ扫过的面积为S四边形ABQP , 分别表示出S与t的函数关系式即可.

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种植户

种植A类蔬菜面积(单位:亩)

种植B类蔬菜面积(单位:亩)

总收入(单位:元)

1

3

13500

2

2

13000

说明:不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等

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