Question

如图：已知二次函数的图象与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴相交于点C（0，-3）．
（1）求这个二次函数的解析式，并求出顶点M的坐标；
（2）若C点关于该抛物线对称轴对称的点为C′，求直线AC′的解析式；
（3）在该抛物线位于第四象限内是否存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积 的一半？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入即可求出a的值，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标；
（2）易求C′点的坐标，设所求一次函数的解析式为y=kx+b，把C和C′的坐标代入求出k和b的值，即可求出直线AC′的解析式；
（3）在该抛物线位于第四象限内存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积 的一半，设P点坐标为（x，y），根据（1）中的解析式可得到y和x的数量关系，易求△MAB的面积为8，所以△ABP的面积为：S_△ABP=

1

2

×4×|x²-2x-3|=2（-x²+2x+3）=-2x²+4x+6，依题意：2（-2x²+4x+6）=8，再求出符合题意的x的值即可．

解答：解：（1）依题意：可设所求解析式为：y=a（x+1）（x-3）把点C（0，-3）代入，
解得：a=1，
所求解析式为：y=x²-2x-3，
即：y=（x-1）²-4
所以其顶点坐标为（1，-4），
（2）依题意：C'点的坐标为（2，-3），
设所求一次函数的解析式为y=kx+b，
把点C'（2，-3），A（-1，0）代入得：

2k+b=-3 -k+b=0

，
解得：k=-1，b=-1，
所以所求直线解析式为：y=-x-1，
（3）在该抛物线位于第四象限内存在一个点P，使得△PAB的面积等于△MAB面积的一半，
理由如下：
设P点坐标为（x，y），
∵y=x²-2x-3，
∴P点坐标为（x，x²-2x-3），
且AB=4，△ABM的高为4，
∴△ABM的面积为：S_△ABM=

1

2

×4×4=8，
△ABP的面积为：S_△ABP=

1

2

×4×|x²-2x-3|=2（-x²+2x+3）=-2x²+4x+6，
依题意：2（-2x²+4x+6）=8，
整理得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1+

2

，x₂=1-

2

，
但因为P点在第四象限，所以x₂=1-

2

（舍去），
所以x=1+

2

，
当x=1+

2

时，y=（1+

2

）²-2（1+

2

）-3=-2，
所以所求P点的坐标 为（1+

2

，-2）．

点评：本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，解一元二次方程，三角形面积公式的运用，其中（3）小题正确的求出P的坐标为（x，x²-2x-3），
是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．