Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，AD∥BC，CD⊥AC，连BD，交AC于E．
（1）如图1，若∠BAC=60°，求$\frac{AE}{BC}$的值；
（2）如图2，CF⊥AB于F，交BD于G，求证：CG=FG

Answer 1

分析 （1）先证明△ABC是等边三角形，得出AC=BC，∠ACB=60°，再证明∠ADC=30°，得出AD=2AC=2BC，由平行线的性质得出$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AD}{BC}$=2，即可得出结果；
（2）作CQ∥AB于Q，则$\frac{CQ}{AB}=\frac{BC}{AD}$，$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$，证明△CFB∽△DCA，得出对应边成比例$\frac{BF}{AC}$=$\frac{BC}{AD}$，得出$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{BF}{AC}$，证出CQ=BF，即可得出结论．

解答 （1）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°，
∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB=60°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC=30°，
∴AD=2AC，
∴AD=2BC，
∵AD∥BC，
∴$\frac{AE}{CE}$=$\frac{AD}{BC}$=2，
∴$\frac{AE}{BC}=\frac{AE}{AC}$=$\frac{2}{3}$；

（2）证明：作CQ∥AB于Q，
如图所示：则$\frac{CQ}{AB}=\frac{BC}{AD}$，$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$，
∵AD∥BC，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BC}{AD}$，∠ACB=∠DAC，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{BC}{AD}$，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=∠DAC，
∵CF⊥AB，
∴∠BFC=90°=∠ACD，
∴△CFB∽△DCA，
∴$\frac{BF}{AC}=\frac{BC}{AD}$，
∴$\frac{CQ}{AB}=\frac{BF}{AC}$，
∴CQ=BF，
∴$\frac{CG}{FG}=\frac{CQ}{BF}$=1，
∴CG=FG．

点评 本题考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．