Question

18．先阅读下面的内容，然后再解答问题．
例：已知m²+2mn+2n²-2n+1=0．求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²-2n+1=0，
∴m²+2mn+n²+n²-2n+1=0．
∴（m+n）²+（n-1）²=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}m+n=0\\ n-1=0\end{array}\right.$．
解这个方程组，得：$\left\{\begin{array}{l}m=-1\\ n=1\end{array}\right.$．
解答下面的问题：
（1）如果x²+y²-8x+10y+41=0成立．求（x+y）²⁰¹⁶的值；
（2）已知a，b，c为△ABC的三边长，若a²+b²+c²=ab+bc+ca，试判断△ABC的形状，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据完全平方公式把原式化为（x-4）²+（y+5）²=0的形式，根据非负数的性质求出x、y，代入代数式根据乘方法则计算即可；
（2）根据完全平方公式把原式化为（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0的形式，根据非负数的性质进行解答即可．

解答 解：（1）∵x²+y²-8x+10y+41=0，
∴x²-8x+16+y²+10y+25=0．
∴（x-4）²+（y+5）²=0．
∴x-4=0且y+5=0．
∴x=4，y=-5．
∴（x+y）²⁰¹⁶=[4+（-5）]²⁰¹⁶=1．
（2）∵a²+b²+c²=ab+bc+ca，
∴2a²+2b²+2c²=2ab+2bc+2ca．
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²+c²-2ca+a²=0．
∴（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²=0．
∴a-b=0且b-c=0且c-a=0．
∴a=b=c．
∴△ABC是等边三角形．

点评 本题考查的是配方法的应用和非负数的性质的应用，正确根据完全平方公式进行配方是解题的关键．