Question

8．如图，半圆O的直径AE=4，点B、C、D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB、OD，
（1）求证：$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；
（2）求∠BOD度数；
（3）求图中阴影部分面积．

Answer 1

分析 （1）根据AB=BC，CD=DE，得到$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，$\widehat{CD}=\widehat{DE}$，即可得到结论；
（2）根据$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；即可得到∠BOD=$\frac{1}{2}×180°=90°$；
（3）根据扇形的面积公式即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB=BC，CD=DE，
∴$\widehat{AB}=\widehat{BC}$，$\widehat{CD}=\widehat{DE}$，
∴$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；

（2）解：∵$\widehat{AB}$+$\widehat{DE}$=$\widehat{BC}$+$\widehat{CD}$；
∴∠BOD=$\frac{1}{2}×180°=90°$；

（3）由（2）得：
S_阴影=S_扇形OBD=$\frac{90π×（4÷2）^{2}}{360}$=π．
∴阴影部分面积为π．

点评 本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．