Question

【题目】四边形ABCD为平行四边形，AC为对角线，∠BAC＝60°，CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线，CE、BF相交于G；

（1）求∠CGF的度数；

（2）求证：BE+CF＝BC；

（3）若BE：CF＝1：2，EG＝2，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）见解析；（3）180

【解析】

（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；

（2）在BC边上截取CN＝CF，连接GN，由“SAS”可证△CGN≌△CG，可得∠CGN＝∠CGF＝60°，可得∠BGN＝∠BGE，由“ASA”可证△BGN≌△BGE，可得BE＝BN，可得结论；

（3）设BE＝a，CF＝2a，AE＝c，AF＝b，由相似三角形的性质列出方程组，求出，通过证明△ABF∽△GEB，可得，可求c的值，可得AB，AC，BC的值，即可求平行四边形ABCD的面积．

解：（1）∵∠BAC＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线，

∴∠GBC+∠GCB＝×120°＝60°，

∴∠BGC＝120°，

∴∠CGF＝60°；

故答案为：60°.

（2）在BC边上截取CN＝CF，连接GN，如图所示：

在△CGN和△CGF中，

，

∴△CGN≌△CGF（SAS），

∴∠CGN＝∠CGF，GF＝GN

∵∠BGC＝120°，∠CGF＝60°，

∴∠BGN＝60°，∠EGF＝120°，

∴∠BGE＝360°﹣120°﹣120°﹣60°＝60°，

∴∠BGN＝∠BGE，

在△BGN和△BGE中，

，

∴△BGN≌△BGE（ASA），

∴BE＝BN，EG＝GN

∴EG＝GN＝GF

∵BC＝BN+CN＝BE+CF，

∴BE+CF＝BC；

（3）如图，延长CE，DA交于点H，延长BF交AD于点P，过点B作BM⊥AC于M，

∵BE：CF＝1：2，

∴设BE＝a，CF＝2a，

由（2）可知BC＝BE+CF＝a+2a＝3a，

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC

∴∠H＝∠BCE，∠APB＝∠FBC，

∵CE、BF分别∠ACB、∠ABC的角平分线

∴∠ACE＝∠BCE，∠ABF＝∠CBF

∴∠H＝∠ACE，∠APB＝∠ABF

∴AH＝AC，AP＝AB，

设AE＝c，AF＝b，

∴AB＝c+a，AC＝b+2a，

∵AH∥BC

∴△AHE∽△BCE

∴

∴

∴b+2a＝3c①

∵AH∥BC

∴△APF∽△CBF

∴

∴

∴c+a＝b②

由①②组成方程组

解得：

∴AB＝c，AC＝3c，

由（2）可知FG＝EG＝2

∵∠EGB＝∠BAC＝60°，∠ABF＝∠GBE，

∴△ABF∽△GEB，

∴

∴

∴BG＝3，c＝8

∴a＝7，b＝10

∴AB＝15，AC＝24，BC＝21，

∵∠BAC＝60°，BM⊥AC

∴AM＝AB＝，BM＝AM＝，

∴SABCD＝2S△ABC＝2×××24＝180

故答案为：180.