Question

如图，已知一次函数y=2x+2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，m）．过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点D（n，-2）．
（1）求k₁和k₂的值；
（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一个点F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）将A（1，m）代入一次函数y=2x+2中，得：m=2+2=4，即A（1，4），
将A（1，4）代入反比例解析式y=得：k₁=4；
过A作AM⊥y轴，过D作DN⊥y轴，
∴∠AMB=∠DNB=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵AC⊥BD，即∠ABD=90°，
∴∠ABM+∠DBN=90°，
∴∠BAM=∠DBN，
∴△ABM∽△BDN，
∴=，即=，
∴DN=8，
∴D（8，-2），
将D坐标代入y=得：k₂=-16；

（2）符合条件的F坐标为（0，-8），理由为：
由y=2x+2，求出C坐标为（-1，0），
∵OB=ON=2，DN=8，
∴OE=4，
可得AE=5，CE=5，AC=2，BD=4，∠EBO=∠ACE=∠EAC，
若△BDF∽△ACE，则=，即=，
解得：BF=10，
则F（0，-8）．
综上所述：F点坐标为（0，-8）时，△BDF∽△ACE．
分析：（1）将A坐标代入一次函数解析式中求出m的值，确定出A的坐标，将A坐标代入反比例函数y=中即可求出k₁的值；过A作AM垂直于y轴，过D作DN垂直于y轴，可得出一对直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ABM与三角形BDN相似，由相似得比例，求出DN的长，确定出D的坐标，代入反比例函数y=中即可求出k₂的值；
（2）在y轴上存在一个点F，使得△BDF∽△ACE，此时F（0，-8），理由为：由y=2x+2求出C坐标，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE为三角形BDN的中位线，求出OE的长，进而利用两点间的距离公式求出AE，CE，AC，BD的长，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的长，即可确定出此时F的坐标，
再利用BD=DF时，进而得出即可．
点评：此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．