Question

【题目】（1）尝试探究

如图1，等腰Rt△ABC的两个顶点B，C在直线MN上，点D是直线MN上一个动点（点D在点C的右边），BC=3，BD=m，在△ABC同侧作等腰Rt△ADE，∠ABC=∠ADE=90°，EF⊥ MN于点F，连结CE.

①求DF的长；

②在判断AC⊥CE是否成立时，小明同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：先证CF=EF，求出∠ECF=45°，从而证得结论成立.

思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2=AE2，从而证得结论成立.

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程.(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)

（2）拓展探究

将(1)中的两个等腰直角三角形都改为有一个角为的直角三角形，如图2， ∠ABC=∠ADE=90°，∠BAC=∠DAE=30°，BC=3，BD=m，当4≤m≤6时，求CE长的范围.

Answer 1

【答案】（1）①3；②详见解析；（2）.

【解析】

（1）①证明△ABD≌ △DFE即可得出结论；

②思路一：先证CF=EF，求出∠ECF=45°，从而证得结论成立.

思路二：先求DF，EF的长，再求CF的长，然后证AC2+CE2=AE2，从而证得结论成立.

（2）易证△ ABD ∽△ DFE，得，可求出CF= m，CE=，得∠ACE=90°，所以无论m取何大于3的数，AC⊥CE总成立，即点E在一条直线上运动，因此可求出当4≤m≤6时，CE长的范围.

（1）①在等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE中，∠ABC=∠ADE=90°，∴∠ADB+∠EDF=90°，

∵EF⊥ MN，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∴∠ADB=∠DEF，

在△ABD和△DFE中，

∴△ABD≌ △DFE（AAS），

∴DF=AB=BC=3；

②证明：思路一：

由①得△ABD≌ △DFE（AAS），

∴DF=AB=BC=3，EF=BD=m，

∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m，

∴CF=EF，

∵EF⊥ MN，

∴∠ECF=45°，

∵∠ACB=45°，

∴∠ACE=90°，

即AC⊥CE；

思路二：由（1）知，DF=AB=3，EF=BD=3+m

∴DE=AD=

∴AE=

又由（1）可知，∠EFD=∠ABC=90°,CF=EF=3+m，

∴AC=3,CE=(3+m)

∵AC2+CE2== AE2，

∴△ACE是直角三角形，即AC⊥CE；

（2）如图，作EF⊥ MN，

∴∠DEF+∠EDF=90°，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADB+∠EDF=90°，

∴∠ADB=∠DEF，

∴△ ABD ∽△ DFE，

∴，

∴EF=，DF=3，

∴CF=CD+DF=CD+BC=BD=m，

∴在Rt△CEF中，tan∠ECF=,

∴∠ECF=30°，CE=2EF=，

∴∠ACE=90°，

即AC⊥CE，

∴无论m取何大于3的数，AC⊥CE总成立，即点E在一条直线上运动，

∴4≤m≤6时，CE长的范围是.