Question

17．如图，已知二次函数y=ax²+4x+c的图象经过点A（1，-1）和点B（-3，-9）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）写出该抛物线的对称轴及顶点M坐标；
（3）点P（m，-m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．
（4）求△MPQ的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法，把点A、B的坐标代入解析式，解二元一次方程组，求出二次函数解析式；
（2）利用配方法把二次函数解析式的一般式写成顶点式，求出抛物线对称轴和顶点坐标；
（3）将点P代入函数解析式，求出m的值及点P坐标，注意m＞0的条件，利用对称性求出点Q的坐标，进而求出点Q到x轴距离；
（4）三角形一边PQ平行x轴，因此利用三角形面积公式可以求出三角形面积．

解答 解：（1）∵二次函数y=ax²+4x+c的图象经过点A（1，-1）和点B（-3，-9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-6}\end{array}\right.$，
∴该二次函数的表达式为y=x²+4x-6；

（2）∵y=x²+4x-6
=x²+4x+4-4-6
=（x+2）²-10，
∴该抛物线的对称轴为直线x=-2，
顶点坐标为（-2，-10）；

（3）∵点P（m，-m）在函数图象上（m＞0），
∴m²+4m-6=-m，
整理得m²+5m-6=0，
解得m₁=1，m₂=-6（舍去），
∴点P的坐标为（1，-1），
∵点P、Q关于抛物线的对称轴x=-2对称，
设点Q坐标为（x，-1），
∴$\frac{1+x}{2}$=-2，
∴x=-5，
∴点Q坐标为（-5，-1），
∴点Q到x轴距离为1．

（4）∵PQ∥x轴，
∴PQ=1-（-5）=6
点M到直线PQ距离h为：-1-（-10）=9
∴S_△MPQ=$\frac{1}{2}$×PQ×h，
=$\frac{1}{2}$×6×9，
=27．
答：△MPQ的面积为27．

点评 题目考查了二次函数综合应用，涉及二次函数解析式的求解、一般式到顶点式的变形、对称性质以及三角形面积求解，题目设计由易到难，难度适中，可以很好地考查学生的知识掌握情况．