Question

如图所示，AB是圆中的一条弦，C是圆上（不同于A、B）的点，过B的切线与AC的延长线交于P点，Q是

AC

的中点，BQ与AC交于点D，已知PC=1，PD=

3

，则PA=

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连接OB，OQ，延长QO交AC于H，如图，Q是

AC

的中点，根据垂径定理的推论得OQ⊥AC，则∠HQB+∠HDQ=90°，而对顶角相等得∠PDB=∠HDQ，所以∠HQB+∠PDB=90°，再根据切线的性质得OB⊥PB，则∠PBH+∠QBO=90°，加上∠OQB=∠OBQ，所以∠PDB=∠PBD，于是得到PB=PC=

3

，然后根据切割线定理计算PA的长．

解答：解：连接OB，OQ，延长QO交AC于H，如图，
∵Q是

AC

的中点，
∴OQ⊥AC，
∴∠HQB+∠HDQ=90°，
而∠PDB=∠HDQ，
∴∠HQB+∠PDB=90°，
∵PB为⊙O的切线，
∴OB⊥PB，
∴∠PBH+∠QBO=90°，
∵OQ=OB，
∴∠OQB=∠OBQ，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PB=PC=

3

，
∵PB为⊙O的切线，
∴PB²=PC•PA，
∴PA=

PB2

PC

=3．
故答案为3．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了垂径定理和切割线定理．