Question

16．如图，已知AB∥CD，点E在BC上且BE=CD，AB=CE，EF平分∠AED．
（1）求证：△ABE≌△ECD；
（2）猜测EF与AD的位置关系，并说明理由；
（3）若DF=$\frac{1}{2}$AE，请判断△AED的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质得到∠B=∠C，于是得到△ABE≌△ECD；
（2）EF⊥AD，根据全等三角形的性质得到AE=DE，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（3）根据等腰三角形的性质得到DF=$\frac{1}{2}$AD，等量代换得到AD=AE=DE，于是得到结论．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B=∠C，
在△ABE与△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ECD；

（2）EF⊥AD，
理由：∵△ABE≌△ECD，
∴AE=DE，
∵EF平分∠AED，
∴EF⊥AD；

（3）△AED是等边三角形，
∵AE=DE，
∵EF平分∠AED，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD，
∵DF=$\frac{1}{2}$AE，
∴AD=AE=DE，
∴△AED是等边三角形．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，证得△ABE≌△ECD是解题的关键．