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【题目】如图,抛物线经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-3).

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点,设PAC的面积为S,求S的最大值并求出此时点P的坐标;

(3)设抛物线的顶点为D,DEx轴于点E,在y轴上是否存在点M,使得ADM是直角三角形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=x2+2x-3;(2)最大值,P的坐标为(-,-);(3)(0,)或(0,-)或(0,-1)或(0,-3).

【解析】

试题分析:(1)已知抛物线上的三点坐标,利用待定系数法可求出该二次函数的解析式;

(2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N,先运用待定系数法求出直线AC的解析式,设P点坐标为(x,x2+2x-3),根据AC的解析式表示出点N的坐标,再根据SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出PAC的面积,运用顶点式就可以求出结论;

(3)分三种情况进行讨论:以A为直角顶点;以D为直角顶点;以M为直角顶点;设点M的坐标为(0,t),根据勾股定理列出方程,求出t的值即可.

试题解析:(1)由于抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),可设抛物线的解析式为:y=a(x+3)(x-1),

将C点坐标(0,-3)代入,得:

a(0+3)(0-1)=-3,解得 a=1,

则y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3,

所以抛物线的解析式为:y=x2+2x-3;

(2)过点P作x轴的垂线,交AC于点N.

设直线AC的解析式为y=kx+m,由题意,得

,解得

直线AC的解析式为:y=-x-3.

设P点坐标为(x,x2+2x-3),则点N的坐标为(x,-x-3),

PN=PE-NE=-(x2+2x-3)+(-x-3)=-x2-3x.

SPAC=SPAN+SPCN

S=PNOA

=×3(-x2-3x)

=-(x+2+

当x=-时,S有最大值,此时点P的坐标为(-,-);

(3)在y轴上是存在点M,能够使得ADM是直角三角形.理由如下:

y=x2+2x-3=y=(x+1)2-4,

顶点D的坐标为(-1,-4),

A(-3,0),

AD2=(-1+3)2+(-4-0)2=20.

设点M的坐标为(0,t),分三种情况进行讨论:

当A为直角顶点时,如图3

由勾股定理,得AM2+AD2=DM2,即(0+3)2+(t-0)2+20=(0+1)2+(t+4)2

解得t=

所以点M的坐标为(0,);

当D为直角顶点时,如图3

由勾股定理,得DM2+AD2=AM2,即(0+1)2+(t+4)2+20=(0+3)2+(t-0)2

解得t=-

所以点M的坐标为(0,-);

当M为直角顶点时,如图3

由勾股定理,得AM2+DM2=AD2,即(0+3)2+(t-0)2+(0+1)2+(t+4)2=20,解得t=-1或-3,

所以点M的坐标为(0,-1)或(0,-3);

综上可知,在y轴上存在点M,能够使得ADM是直角三角形,此时点M的坐标为(0,)或(0,-)或(0,-1)或(0,-3).

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