Question

如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN=a，ON、CD分别为两圆的半径，则阴影部分的面积为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：如图，作OE⊥MN于E．根据切线的性质得O₁D为⊙O₁的半径，易得四边形OO₁DC为矩形，则OC=O₁D，再根据垂径定理得到AC=BC=

1

2

MN，在Rt△OEN中，利用勾股定理得到ON²-OE²=EN²=

1

4

a²，然后利用阴影部分的面积=

1

2

S_⊙C-

1

2

S_⊙O进行计算．

解答：解：如图，作OE⊥MN于E．
∵大半圆的弦AB与小半圆相切，
∴CD为⊙C的半径，
∴OC⊥MN，
又MN∥AB，
∴四边形DCOE为矩形，
∴OE=CD，
∵OE⊥MN，
∴ME=NE=

1

2

MN=

1

2

a，
在Rt△OEN中，ON²-OE²=EN²=

1

4

a²，
∵阴影部分的面积=

1

2

S_⊙C-

1

2

S_⊙O=

1

2

（π•ON²-π•CD²）=

1

2

π（ON²-OE²）=

π

8

a2．
故答案为：

π

8

a2．

点评：本题考查了圆的切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．