Question

16．（1）在△ABC中，∠B的平分线与∠C的平分线相交于点O，如图1，小明经过探究发现：∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A，请你说明理由．
（2）当∠ABC的平分线和∠ACB的外角平分线相交于点O，如图2，上面结论还成立吗？若成立说明为什么；若不成立，请你直接写出新的结论．

Answer 1

分析 （1）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可证明；
（2）利用三角形的外角等于不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义即可求解．

解答 解：（1）在ABC中，∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB，
∵∠B的平分线与∠C的平分线相交于点O，
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠BOC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BOC=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
∴∠BOC=90°+$\frac{1}{2}$∠A．
（2）不成立，理由如下：
∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠OCD-2∠OBC=2（∠OCD-∠OBC），
∠O=∠OCD-∠OBC，
∴2∠O=∠A，
∴∠BOC=$\frac{1}{2}$∠A．

点评 本题考查的是三角形内角和定理与外角的性质，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．