Question

16．如图，PA与⊙O相切于点A，弦CD∥PA，CB为⊙O直径，且P、C、B共线．
（1）求证：BA平分∠CBD；
（2）若∠OAB=30°，CD=6$\sqrt{3}$，求OA．

Answer 1

分析 （1）连接AO，由PA与⊙O相切于点A，得到OA⊥PA，根据CD∥PA，推出OA⊥CD，由垂径定理得到$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，证出∠1=∠2，得到BA平分∠CBD；
（2）由同圆的半径相等得到∠1=∠OAB=30°，由CB为⊙O直径，得到∠D=90°，求出直径，结论可求．

解答 （1）证明：连接AO，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴OA⊥PA，
∵CD∥PA，
∴OA⊥CD，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{AD}$，
∴∠1=∠2，
∴BA平分∠CBD；

（2）∵OA=OB，∠OAB=30°，
∴∠1=∠OAB=30°，
∴∠CBD=60°，
∵CB为⊙O直径，
∴∠D=90°，
∵CD=6$\sqrt{3}$，
∴BC=12，
∴OA=$\frac{1}{2}$BC=6．

点评 本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．