Question

10．已知，如图，点O是△ABC的三条角平分线的交点，作OG⊥BC，垂足为点G，求证：∠1=∠2．

Answer 1

分析 根据三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，证明∠AOB=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，得到∠1=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，根据OC平分∠ACB，OG⊥BC，得到∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，得到答案．

解答 证明：∵△ABC中，三条角平分线AD、BE、CF相交于点O，
∴∠OAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OBA=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵∠ABC+∠BAC=180°-∠BCA，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-$\frac{1}{2}$（∠CAB+∠CBA）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=180°-∠AOB=180°-（90°+$\frac{1}{2}$∠ACB）=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵OC平分∠ACB，OG⊥BC，
∴∠2=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠1=∠2．

点评 此题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．