在平面直角坐标系中.直线AB的解析式为y=-2x+12.点C是线段AB的中点．(1)如图.求直线OC的解析式,(2)点D从点O出发.沿射线OC方向运动.速度为每秒$\sqrt{5}$个单位.过点D作x轴的垂线.交直线AB于点E.设△EDC的面积为S.点D的运动时间为t.写出S与t的函数关系式.并写出自变量t的取值范围,的条件下.当点D运动时间恰好为2秒时.点P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

5．

在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=-2x+12，点C是线段AB的中点．
（1）如图，求直线OC的解析式；
（2）点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒$\sqrt{5}$个单位，过点D作x轴的垂线，交直线AB于点E，设△EDC的面积为S，点D的运动时间为t，写出S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当点D运动时间恰好为2秒时，点P为直线AD上的动点，在平面内，是否存在点Q，使以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先由直线AB的解析式为y=-2x+12，求出A（6，0），B（0，12），再根据中点坐标公式得到线段AB的中点C的坐标为（3，6）．然后利用待定系数法即可求出直线OC的解析式；
（2）先求出点D运动到点C所需时间为：3$\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=3秒，设ED⊥x轴于点M．根据直角三角形的性质得出OC=AC，那么∠DOM=∠OAB．解直角△DOM，求出OM=OD•cos∠DOM=t，DM=OD•sin∠DOM=2t，即D（t，2t），E（t，-2t+12）．再分两种情况进行讨论：①0＜t＜3；②t＞3．根据三角形的面积公式求解即可；
（3）当点D运动时间为2秒时，OD=2$\sqrt{5}$，D（2，4）．利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=-x+6．再分两种情况进行讨论：①OA为正方形的边，根据正方形的性质求出Q₁点的坐标为（6，6）；②OA为正方形的对角线，易求Q₂点的坐标为（3，-3）．

解答解：（1）∵直线AB的解析式为y=-2x+12，
∴当y=0时，-2x+12=0，解得x=6，即A（6，0），
当x=0时，y=12，即B（0，12），
∵点C是线段AB的中点，
∴点C坐标为（3，6）．
设直线OC的解析式为y=kx，
则3k=6，解得k=2，
故直线OC的解析式为y=2x；

（2）∵OC=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，点D从点O出发，沿射线OC方向运动，速度为每秒$\sqrt{5}$个单位，
∴点D运动到点C所需时间为：3$\sqrt{5}$÷$\sqrt{5}$=3（秒）．
设ED⊥x轴于点M．
∵OC为直角△ABC斜边AB的中线，
∴OC=AC，
∴∠DOM=∠OAB．
∵在直角△DOM中，OD=$\sqrt{5}$t，
∴OM=OD•cos∠DOM=OD•cos∠OAB=$\sqrt{5}$t•$\frac{6}{6\sqrt{5}}$=t，
DM=OD•sin∠DOM=OD•sin∠OAB=$\sqrt{5}$t•$\frac{12}{6\sqrt{5}}$=2t，
∴D（t，2t），
∴E（t，-2t+12）．
如图，分两种情况：
①当0＜t＜3时，D在线段OC上，
∵DE=-2t+12-2t=-4t+12，C到DE的距离为：3-t，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（-4t+12）（3-t）=2t²-12t+18，
即S=2t²-12t+18；
②当t＞3时，D线段OC的延长线上，
∵DE=2t-（-2t+12）=4t-12，C到DE的距离为：t-3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$（4t-12）（t-3）=2t²-12t+18，
即S=2t²-12t+18；
综上所述，S与t的函数关系式为S=2t²-12t+18（t＞0且t≠3）；

（3）当点D运动时间为2秒时，OD=2$\sqrt{5}$，D（2，4）．
设直线AD的解析式为y=mx+n，
∵A（6，0），D（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{6m+n=0}\\{2m+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=-x+6，
∴直线AD与y轴交点为（0，6）．
以点O，A，P，Q为顶点的四边形为正方形时，分两种情况：
①如果OA为正方形的边，如图，作正方形OP₁Q₁A，则P₁为直线AD与y轴交点，
∵OA=OP₁=6，∠OAQ₁=90°，
∴Q₁点的坐标为（6，6）；
②如果OA为正方形的对角线，设OA中点为N，则N（3，0），
当x=3时，y=-3+6=3．
作OA的垂直平分线l，交直线AD于点P₂，
则P₂点的坐标为（3，3），在l上截取NQ₂=NP₂，
则四边形OP₂AQ₂是正方形，此时Q₂点的坐标为（3，-3）．
综上所述，所求Q点的坐标为Q₁（6，6），Q₂（3，-3）．

点评本题是一次函数综合题，涉及到利用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，中点坐标公式，三角形的面积，勾股定理，直角三角形的性质，正方形的判定与性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．

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