Question

已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线经过A、C两点．

（1）写出点A、点C坐标并求直线的函数表达式；

（2）若P是直线上的一点，当△OPA的面积是5时，请求出点P的坐标；

（3）如图2，点D（3，-1），E是直线上的一个动点，求出使|BE-DE|取得最大值时点E的坐标和最大值（不需要证明）．

Answer 1

解：（1）A（4，0）和C（0，4）…………………………２分

设直线l的函数表达式y=kx+b（k≠0），经过A（4，0）和C（0，4）

得，

解之得，

∴直线l的函数表达式y=﹣x+4；      ………………………………………4分

（2）设△OPA底边OA上的高为h，由题意等×4×h=5，∴h=

∴|-x+4|=，解得x=或

∴P₁（,）、P₂（，）……………………………………………….…6分

                                            

（3）∵O与B关于直线对称，

∴连接OD并延长交直线于点E，则点E为所求，此时|BE-DE|=|OE-DE|=OD，OD即为最大值。

设OD所在直线为y=k₁x  （k₁≠0），经过点D（3，-1），∴-1=3k₁   ，   ∴k₁=

∴直线OD为，                    ……………………………………….……8分

解方程组：     ，得，

∴点E的坐标为（6，-2）．         ……………………9分

又D点的坐标为（3，-1）

由勾股地理可得OD=          …………………10分