Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，D是BC上任意一点，过点D作DE⊥AB于E，F是AD的中点，连接CF、EF、CE，求证：△CEF是正三角形．

Answer 1

考点：直角三角形斜边上的中线,等边三角形的判定

专题：证明题

分析：利用直角三角形斜边上的中线得到CF=EF=

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AD；然后由等腰三角形的性质、三角形外角定理和已知条件推知∠EFC=60°，则证得结论．

解答：证明：如图，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，F是AD的中点，
∴CF=AF=

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AD，EF=AF=

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AD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，CF=EF．
又∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，∠CAB=30°，
∴∠5+∠6=2（∠1+∠4）=2∠CAB=60°，即∠EFC=60°，
∴△CEF是正三角形．

点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线和等边三角形的判定．注意三角形外角定理的应用和等腰三角形的性质的应用．