Question

【题目】如图1，抛物线与轴交于，两点（点位于点的左侧），与轴负半轴交于点，若．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，是第三象限内抛物线上的动点，过点交抛物线于点，过作轴交于点，过作轴交于点，当四边形的周长最大值时，求点的横坐标；

（3）在轴下方的抛物线上是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分．如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）； (2)；（3），，．

【解析】

(1)x2(a+1)x+a=0，则AB==(a1)2=16，即可求解；
(2)设点E(m,m2+2m3)，点F(3m,m2+4m)，四边形EMNF的周长S=ME+MN+EF+FN，即可求解；
(3)分当点Q在第三象限、点Q在第四象限两种情况，分别求解即可．

解：(1)x2(a+1)x+a=0，
则x1+x2=a+1，x1x2=a， AB==(a1)2=16，
解得：a=5或3，
抛物线与y轴负半轴交于点C，故a=5舍去，则a=3，
则抛物线的表达式为：y=x2+2x3；
(2)由y=x2+2x3得：点A、B、C的坐标分别为：(3,0)、(1,0)、(0,3)，
设点E(m,m2+2m3)，OA=OC，故直线AC的倾斜角为45°，EF//AC，
直线AC的表达式为：y=x3，
则设直线EF的表达式为：y=x+b，将点E的坐标代入上式并解得：
直线EF的表达式为：y=x+(m2+3m3)
联立并解得：x=m或3m，
故点F(3m,m2+4m)，点M、N的坐标分别为：(m,m3)、(3m,m+3)，
则EF= (xFxE)= (2m3)=MN，
四边形EMNF的周长S=ME+MN+EF+FN=2m2(6+4)m6，
∵2<0，故S有最大值，此时m=，
故点E的横坐标为-；
(3)①当点Q在第三象限时，
当QC平分四边形面积时，
则|xQ|=xB=1，故点Q(1,4)；
当BQ平分四边形面积时，
则S△OBQ= ×1×|yQ|，S四边形QCBO=×1×3+×3×|xQ|，
则2(×1×|yQ|)=×1×3+×3×|xQ|，
解得：xQ=，故点Q(,)；
②当点Q在第四象限时，
同理可得：点Q(,)；
综上，点Q的坐标为：(1,4)或(,)或(,).