Question

【题目】已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A，且经过点（3，﹣3）.

（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标;

（2）将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线，新抛物线与射线OA交于C，D两点，如图，请问：在抛物线平移的过程中，线段CD的长度是否为定值？若是，请求出这个定值;若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x，顶点A的坐标是（1，1）；（2）CD长为定值.

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；

（2）根据平移规律，可设出新抛物线解析式，联立抛物线与直线OA，可得C、D点的横坐标，根据勾股定理，可得答案．

解：（1）把（3，﹣3）代入y=﹣x2+mx+m-2得：﹣3=﹣32+3m+m-2，

解得m=2，

∴y=﹣x2+2x，

∴y=﹣x2+2x=﹣（x-1）2+1，

∴顶点A的坐标是（1，1）；

（2）易得直线OA的解析式为y=x，

平移后抛物线顶点在直线OA上，设平移后顶点为（a，a），

∴可设新的抛物线解析式为y=﹣（x﹣a）2+a，

联立

解得：x1=a，x2=a﹣1，

∴C（a-1，a-1），D(a，a)，

即C、D两点间的横坐标的差为1，纵坐标的差也为1，

∴CD=

∴CD长为定值．