Question

【题目】某同学在研究二次函数及其图像性质的问题时，发现了两个重要结论：

①抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，不论 a 为何值时，它的顶点都在某条直线上；

②抛物线 y = ax 2 2x + 3（a ≠0)，其顶点的横坐标减少，纵坐标增加得到A点，若把顶点的横坐标增加，纵坐标增加，得到B点，则A，B两点一定在抛物线y = ax 2 2x + 3上．

（1）请你帮忙求出抛物线 y = ax 2 2x + 3的顶点所在直线的解析式，并证明结论②是正确的；

（2）问题（1）中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点，你能找出它来吗，并说明理由；

（3）你能把结论①或②（选择其中之一）推广到一般情况吗，请用数学语言表述你的成 果，并给予严格的证明．

Answer 1

【答案】（1），证明见解析；（2）（0,3），理由见解析；（3）①的推广：若b、c是常数，对任意的实数，抛物线的顶点在直线上；②的推广：抛物线，将其顶点的横坐标增加或减少，纵坐标增加，所得到的两个点一定仍在抛物线上；证明见解析．

【解析】

（1）首先将抛物线y=ax2+2x+3转化成顶点式，写出用a表示的顶点坐标，消去a写出y关于x的表达式；

（2）观察（1）中的顶点坐标，因为，即横坐标，纵坐标，即可求得结果；

（3）首先写出抛物线的一般形式，再转化成顶点式，将顶点的横坐标增加

代入一般式，验证纵坐标也增加．

解：（1）方法一：

当时，的顶点坐标为(1,2)，

当时，的顶点坐标为(1,4)，

设抛物线的顶点在直线上，

将(1,2)，(1,4)代入，得：

，解得：，

所以，

即抛物线的顶点在直线；

方法二：

易知的顶点是，

即，，

消去a得：，

即抛物线的顶点在直线；

证明：抛物线的顶点是，

由题意得：A(0,3)，B(,3)，

当x=0时，y=3，则点A在抛物线上，

当x=时，，则点B抛物线上，

（2）直线上有一点(0,3)不是该抛物线的顶点，

抛物线的顶点是，

当时，横坐标，即(0,3)不是抛物线的顶点；

（3）①的推广

若b、c是常数，对任意的实数，抛物线的顶点在直线上.

当时，则的顶点为，

当时，则的顶点为，

将它们代入得：

，

解得：

则直线为，

事实上，时，

，

即抛物线顶点在直线上；

②的推广

猜想：抛物线y = ax 2 2x + 3（a ≠0) ，将其顶点的横坐标增加或减少，纵坐标增加，所得到的两个点一定仍在抛物线上.

证明：抛物线的顶点坐标为，

将其横坐标增加或减少，纵坐标增加，得到

，

将代入得

=

=

∴点A在抛物线上，同理可证点B也在抛物线上.