Question

13．如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB=$\frac{3}{5}$，
（1）求边BC的长；
（2）将△ABC绕着点C旋转得△A′B′C，点A的对应点A′，点B的对应点B′．如果点A′在BC边上，那么点B和点B′之间的距离等于多少？

Answer 1

分析 （1）AD⊥BC于点D，由等腰三角形的性质可得BC=2BD，在Rt△ABD中根据AD=ABsinB得出AD，再根据勾股定理即可得BD，从而得出答案；
（2）B′E⊥BC于点E，由旋转的性质得B′C=BC=16，∠ABC=∠ACB=∠A′CB′，在Rt△B′CE中求出B′E、CE的长，由BC=16可得BE的长，继而根据勾股定理可得答案．

解答 解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AB=AC=10，
∴BC=2BD，
在Rt△ABD中，∵sinB=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=ABsinB=10×$\frac{3}{5}$=6，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
则BC=2BD=16；

（2）过点B′作B′E⊥BC于点E，
根据题意知B′C=BC=16，∠ABC=∠ACB=∠A′CB′，
∴sin∠BCB′=sinB=$\frac{3}{5}$，
∴B′E=B′Csin∠BCB′=16×$\frac{3}{5}$=$\frac{48}{5}$，
∴CE=$\sqrt{B′{C}^{2}-B′{E}^{2}}$=$\frac{64}{5}$，
又∵BC=16，
∴BE=BC-CE=16-$\frac{64}{5}$=$\frac{16}{5}$，
∴BB′=$\sqrt{B{E}^{2}+B′{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{16}{5}）^{2}+（\frac{48}{5}）^{2}}$=$\frac{16\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形、旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是解Rt△B′CE，利用勾股定理计算BB′的长．