Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+1分别与x轴，y轴交于点A，点B。

（1）以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；
（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹； （2）由直线y=-x+1，求得点A的坐标为（，0）， 点B的坐标为（0，1）， ∴在Rt△AOB中，OA=，OB=1， ∴AB=2，tan∠OBA=， ∴∠OBA=60°， ∴∠OAB=90°-∠OBA=30°， ∵△ABC是等边三角形， ∴CA=AB=2，∠CAB=60°， ∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°， ∴点C的坐标为（，2）， 连接BM， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠MBA=∠ABC=30°， ∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°， ∴OB⊥BM， ∴直线OB是⊙M的切线， ∴OB2=OD·OA， ∴， ∴OD=， ∴点D的坐标为（，0）； （3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式 是， 把B（0，1）代入上式得a=1， ∴抛物线的解析式是存在点P， 使△ADP的面积等于△ADC的面积， 点P的坐标分别为。