Question

9．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且DE=2．将△ADE沿AE对折得到△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②AG∥CF；③sin∠EGC=$\frac{4}{5}$；④S_△AGE=15．其中正确的结论是①②③④．（只填序号）

Answer 1

分析 ①根据HL证明Rt△ABG≌Rt△AFG即可；
②证明△FGC是等腰三角形，得到∠GFC=∠GCF，得到∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，得到答案；
③根据②的结论，求出GC=3，得到EG=5，得到答案；
④根据三角形面积公式求出面积判断即可．

解答 解：∵AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
①正确．
设CG为x，则GF=BG=6-x，
在Rt△EGC中，CG²+EC²=EG²，
即x²+16=（2+6-x）²，
解得，x=5，
∴CG=BG，BG=GF，
∴CG=GF，
∴△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG；
∴∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG∥CF，
②正确；
设CG为x，则GF=BG=6-x，
在Rt△EGC中，CG²+EC²=EG²，
即x²+16=（2+6-x）²，
解得，x=5，
∴sin∠EGC=$\frac{EC}{EG}$=$\frac{4}{5}$，
③正确；
S_△AGE=$\frac{1}{2}$×EG×AF=15，
④正确．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查的是翻折变换的性质，找出全等的三角形和重合的边、角是解题的关键，注意勾股定理的运用．