Question

由于b的取值不同，直线y=2x+b与曲线y=|x²-4x+3|的交点（　　）

• A、最多4个
• B、可能是3个
• C、可能是0，1，2个
• D、可能是0，1，2，4个

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题

分析：先画出曲线y=|x²-4x+3|大致图象，得到线y=|x²-4x+3|与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0），然后分类讨论：当直线过（3，0）时，得到b=-6，所以b=-6时，两函数图象只有一个交点；当b＜-6时，两函数图象没有交点；当直线过点（1，0）时，得到b=-1，直线y=x-1与y=x²-4x+3（1≤x≤3）的交点个数为1，此时与y=x²-4x+3（x＞3）的图象有一个交点，所以当-1≤b＜6，两函数图象有两个交点；当b＞1时，两函数图象有两个交点．

解答：解：如图，解方程x²-4x+3=0得x₁=1，x₂=3，即曲线y=|x²-4x+3|与x轴的交点坐标为（1，0）和（3，0）．
则曲线y=|x²-4x+3|分三段：当x≤1或x≥3时，与抛物线y=x²-4x+3一样；当1＜x＜3时，由抛物线y=x²-4x+3再x轴下方的部分沿x轴翻折得到，
当直线过（3，0）时，6+b=0，解得b=-6，则b=-6时，两函数图象只有一个交点；当b＜-6时，两函数图象没有交点；
当直线过点（1，0）时，1+b=0，解得b=-1，直线y=x-1与y=x²-4x+3（1≤x≤3）的交点个数为1，
所以当-1≤b＜6，两函数图象有两个交点；当b＞1时，两函数图象有两个交点．
所以直线y=2x+b与曲线y=|x²-4x+3|的交点的个数为0、1、2．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），对称轴直线x=-

b

2a

，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：当a＞0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x=-

b

2a

时，y取得最小值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-

b

2a

时，y随x的增大而增大；x＞-

b

2a

时，y随x的增大而减小；x=-

b

2a

时，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即顶点是抛物线的最高点．