[题目]在学习三角形中位线的性质时.小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考:课本研究三角形中位线性质的方法已知:如图①.已知△ABC中.D.E分别是AB.AC两边中点．求证:DE∥BC.DE=BC．证明:延长DE至点F.使EF=DE.连接FC．-则△ADE≌△CFE．∴-请你利用小亮的发现解决下列问题:(1)如图③.AD是△ABC的中线.BE交AC于� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解决办法进行了认真思考：

课本研究三角形中位线性质的方法

已知：如图①，已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点．求证：DE∥BC，DE=BC．

证明：延长DE至点F，使EF=DE，连接FC．…则△ADE≌△CFE．∴…

请你利用小亮的发现解决下列问题：

（1）如图③，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE=EF，求证：AC=BF．

请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程：

（2）解决问题：如图⑤，在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线．过点D，E作DF∥EG，分别交BC于点F，G，过点A作MN∥BC，分别与FD，GE的延长线交于点M，N，则四边形MFGN周长的最小值是　　．

【答案】（1）证明见解析；（2）8+10 ．

【解析】试题分析：（1）先判断出△BDF≌△CDM，得出MC=BF，再判断出AC=MC，即可得出结论
（2）先判断出四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，即：MN=FG=DE=4再判断出平行四边形FGNM是矩形时，四边形MFGN的周长最小，最后用锐角三角函数求出MF=GN=5，求和即可得出结论

试题解析：（1）如图1，延长AD至点M，使MD=FD，连接MC，

在△BDF和△CDM中，BD=CD，∠BDF=∠CDM，DF=DM．

∴△BDF≌△CDM（SAS）．

∴MC=BF，∠M=∠BFM．

∵EA=EF，

∴∠EAF=∠EFA．

∵∠AFE=∠BFM，

∴∠M=∠MAC．

∴AC=MC．

∴BF=AC．

（2）如图2，

在△ABC中，∠B=45°，AB=10，BC=8，

∵DE是△ABC的中位线．

∴DE= BC=4，DE∥BC

∵DF∥EG，MN∥BC，

∴四边形DEGF，DENM，FGNM是平行四边形，

∴MN=FG=DE=4，

∴要四边形MFGN周长的最小只有MF=NG最小，

即：MF⊥BC，

∴平行四边形FGNM是矩形，

过点A作AP⊥BC于P，

∴AP=MF=NG，

在Rt△ABP中，∠B=45°，AB=10，

∴AP=5 ，

∴MF=NG=5，

即四边形MFGN周长的最小值是8+10．

故答案为：8+10．

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